الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $5$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

وسّع $(3 - λ) (- 1 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3

اضرب $- λ \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + 1 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.2

أضف $- 3 λ$ و $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $5$ من $- 3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 8) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.3

أعِد ترتيب $- 2 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

أضف $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0$

خطوة 1.5.5.1.2

أضف $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

خطوة 1.5.5.2

وسّع $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.1

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.2

اضرب $- 2 λ$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.4

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.4.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.4.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.4.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.6

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.6.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.6.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.7

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

خطوة 1.5.5.3.8

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$

خطوة 1.5.5.4

أضف $λ^{2}$ و $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 8 λ$

خطوة 1.5.5.5

أضف $- 2 λ$ و $8 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - 8 - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.6

انقُل $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - λ^{3} - 8$

خطوة 1.5.5.7

انقُل $6 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 6 λ - 8$

خطوة 1.5.5.8

أعِد ترتيب $3 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$- λ^{3} - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- λ^{3} - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

أعِد كتابة $- 8$ بالصيغة $- 1 (8)$ .

$- (λ^{3}) - 1 \cdot 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (λ^{3}) - 1 (8)$ .

$- (λ^{3} + 8) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$- (λ^{3} + 2^{3}) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = λ$ و $b = 2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - λ \cdot 2 + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.5.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.5.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.6

أخرِج العامل $3 λ$ من $3 λ^{2} + 6 λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.6.1

أخرِج العامل $3 λ$ من $3 λ^{2}$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 6 λ = 0$

خطوة 1.7.1.6.2

أخرِج العامل $3 λ$ من $6 λ$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 3 λ (2) = 0$

خطوة 1.7.1.6.3

أخرِج العامل $3 λ$ من $3 λ (λ) + 3 λ (2)$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2) = 0$

خطوة 1.7.1.7

أخرِج العامل $λ + 2$ من $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.7.1

أخرِج العامل $λ + 2$ من $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ (λ + 2) = 0$

خطوة 1.7.1.7.2

أخرِج العامل $λ + 2$ من $3 λ (λ + 2)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ) = 0$

خطوة 1.7.1.7.3

أخرِج العامل $λ + 2$ من $(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ) = 0$

خطوة 1.7.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$(λ + 2) (- 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

خطوة 1.7.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.9.1

أعِد كتابة $- 1 λ^{2}$ بالصيغة $- λ^{2}$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

خطوة 1.7.1.9.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

خطوة 1.7.1.9.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 4 + 3 λ) = 0$

خطوة 1.7.1.10

أضف $2 λ$ و $3 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.11

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.11.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.11.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ ومجموعهما $b = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.11.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.11.1.1.2

أعِد كتابة $5$ في صورة $1$ زائد $4$

$(λ + 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.11.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.11.1.1.4

اضرب $λ$ في $1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.11.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.11.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.11.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(λ + 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

خطوة 1.7.1.11.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- λ + 1$ .

$(λ + 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

خطوة 1.7.1.11.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 2 = 0$

خطوة 1.7.3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 2$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $- λ + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $- λ + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- λ + 1 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $- λ + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- λ = - 1$

خطوة 1.7.4.2.2

اقسِم كل حد في $- λ = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- λ = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.2.2

اقسِم $λ$ على $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$λ = 1$

خطوة 1.7.5

عيّن قيمة العبارة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

عيّن قيمة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 4 = 0$

خطوة 1.7.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 4$

خطوة 1.7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ صحيحة.

$λ = - 2, 1, 4$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أضف $1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.5

أضف $3$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.8

أضف $5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.9

أضف $- 1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 (\frac{1}{5}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y + \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ - \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $0$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.3

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.4

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.5

اطرح $1$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.6

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.7

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.8

اطرح $0$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.9

اطرح $1$ من $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{1}{2}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} (- \frac{9}{2}) & - \frac{2}{9} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 4$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.6

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.7

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.8

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.9

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $4$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.5

اطرح $4$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.8

أضف $5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 4 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.9

اطرح $4$ من $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 5 \end{array}]$

خطوة 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 5 - 5 \cdot - 1 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

خطوة 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

خطوة 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$