إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
[12103105-1]⎡⎢⎣12103105−1⎤⎥⎦
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 33 هي المصفوفة المربعة 3×33×3 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI3).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة A التي تساوي [12103105-1].
p(λ)=محدِّد([12103105-1]-λI3)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I3 التي تساوي [100010001].
p(λ)=محدِّد([12103105-1]-λ[100010001])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]-λ[100010001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.4.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.5
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.6.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.7.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.8.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.9
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([12103105-1]+[-λ000-λ000-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[1-λ2+01+00+03-λ1+00+05+0-1-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف 2 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ21+00+03-λ1+00+05+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ210+03-λ1+00+05+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.3
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ2103-λ1+00+05+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.4
أضف 1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ2103-λ10+05+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.5
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ2103-λ105+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.6
أضف 5 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ2103-λ105-1-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ2103-λ105-1-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ2103-λ105-1-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 1 by its cofactor and add.
خطوة 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
خطوة 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
خطوة 1.5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|3-λ15-1-λ|
خطوة 1.5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(1-λ)|3-λ15-1-λ|
خطوة 1.5.1.5
The minor for a21 is the determinant with row 2 and column 1 deleted.
|215-1-λ|
خطوة 1.5.1.6
Multiply element a21 by its cofactor.
0|215-1-λ|
خطوة 1.5.1.7
The minor for a31 is the determinant with row 3 and column 1 deleted.
|213-λ1|
خطوة 1.5.1.8
Multiply element a31 by its cofactor.
0|213-λ1|
خطوة 1.5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(1-λ)|3-λ15-1-λ|+0|215-1-λ|+0|213-λ1|
p(λ)=(1-λ)|3-λ15-1-λ|+0|215-1-λ|+0|213-λ1|
خطوة 1.5.2
اضرب 0 في |215-1-λ|.
p(λ)=(1-λ)|3-λ15-1-λ|+0+0|213-λ1|
خطوة 1.5.3
اضرب 0 في |213-λ1|.
p(λ)=(1-λ)|3-λ15-1-λ|+0+0
خطوة 1.5.4
احسِب قيمة |3-λ15-1-λ|.
خطوة 1.5.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)((3-λ)(-1-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.1
وسّع (3-λ)(-1-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.4.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(3(-1-λ)-λ(-1-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(3⋅-1+3(-λ)-λ(-1-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(3⋅-1+3(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-5⋅1)+0+0
p(λ)=(1-λ)(3⋅-1+3(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.1
اضرب 3 في -1.
p(λ)=(1-λ)(-3+3(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 3.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ-λ⋅-1-λ(-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3
اضرب -λ⋅-1.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3.1
اضرب -1 في -1.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+1λ-λ(-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3.2
اضرب λ في 1.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ-λ(-λ)-5⋅1)+0+0
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ-λ(-λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ-1⋅-1λ⋅λ-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ-1⋅-1(λ⋅λ)-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ-1⋅-1λ2-5⋅1)+0+0
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ-1⋅-1λ2-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ+1λ2-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ+λ2-5⋅1)+0+0
p(λ)=(1-λ)(-3-3λ+λ+λ2-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.2
أضف -3λ وλ.
p(λ)=(1-λ)(-3-2λ+λ2-5⋅1)+0+0
p(λ)=(1-λ)(-3-2λ+λ2-5⋅1)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.3
اضرب -5 في 1.
p(λ)=(1-λ)(-3-2λ+λ2-5)+0+0
p(λ)=(1-λ)(-3-2λ+λ2-5)+0+0
خطوة 1.5.4.2.2
اطرح 5 من -3.
p(λ)=(1-λ)(-2λ+λ2-8)+0+0
خطوة 1.5.4.2.3
أعِد ترتيب -2λ وλ2.
p(λ)=(1-λ)(λ2-2λ-8)+0+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-2λ-8)+0+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-2λ-8)+0+0
خطوة 1.5.5
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.5.1
جمّع الحدود المتعاكسة في (1-λ)(λ2-2λ-8)+0+0.
خطوة 1.5.5.1.1
أضف (1-λ)(λ2-2λ-8) و0.
p(λ)=(1-λ)(λ2-2λ-8)+0
خطوة 1.5.5.1.2
أضف (1-λ)(λ2-2λ-8) و0.
p(λ)=(1-λ)(λ2-2λ-8)
p(λ)=(1-λ)(λ2-2λ-8)
خطوة 1.5.5.2
وسّع (1-λ)(λ2-2λ-8) بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.
p(λ)=1λ2+1(-2λ)+1⋅-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.5.3.1
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=λ2+1(-2λ)+1⋅-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.2
اضرب -2λ في 1.
p(λ)=λ2-2λ+1⋅-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.3
اضرب -8 في 1.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.4
اضرب λ في λ2 بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.3.4.1
انقُل λ2.
p(λ)=λ2-2λ-8-(λ2λ)-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.4.2
اضرب λ2 في λ.
خطوة 1.5.5.3.4.2.1
ارفع λ إلى القوة 1.
p(λ)=λ2-2λ-8-(λ2λ1)-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.4.2.2
استخدِم قاعدة القوة aman=am+n لتجميع الأُسس.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ2+1-λ(-2λ)-λ⋅-8
p(λ)=λ2-2λ-8-λ2+1-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.4.3
أضف 2 و1.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3-λ(-2λ)-λ⋅-8
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3-λ(-2λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.5
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3-1⋅-2λ⋅λ-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.6
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.3.6.1
انقُل λ.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3-1⋅-2(λ⋅λ)-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.6.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3-1⋅-2λ2-λ⋅-8
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3-1⋅-2λ2-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.7
اضرب -1 في -2.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3+2λ2-λ⋅-8
خطوة 1.5.5.3.8
اضرب -8 في -1.
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3+2λ2+8λ
p(λ)=λ2-2λ-8-λ3+2λ2+8λ
خطوة 1.5.5.4
أضف λ2 و2λ2.
p(λ)=3λ2-2λ-8-λ3+8λ
خطوة 1.5.5.5
أضف -2λ و8λ.
p(λ)=3λ2+6λ-8-λ3
خطوة 1.5.5.6
انقُل -8.
p(λ)=3λ2+6λ-λ3-8
خطوة 1.5.5.7
انقُل 6λ.
p(λ)=3λ2-λ3+6λ-8
خطوة 1.5.5.8
أعِد ترتيب 3λ2 و-λ3.
p(λ)=-λ3+3λ2+6λ-8
p(λ)=-λ3+3λ2+6λ-8
p(λ)=-λ3+3λ2+6λ-8
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
-λ3+3λ2+6λ-8=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.1
أعِد تجميع الحدود.
-λ3-8+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.2
أخرِج العامل -1 من -λ3-8.
خطوة 1.7.1.2.1
أخرِج العامل -1 من -λ3.
-(λ3)-8+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.2.2
أعِد كتابة -8 بالصيغة -1(8).
-(λ3)-1⋅8+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.2.3
أخرِج العامل -1 من -(λ3)-1(8).
-(λ3+8)+3λ2+6λ=0
-(λ3+8)+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.3
أعِد كتابة 8 بالصيغة 23.
-(λ3+23)+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.4
بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) حيث a=λ وb=2.
-((λ+2)(λ2-λ⋅2+22))+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.5
حلّل إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.5.1
بسّط.
خطوة 1.7.1.5.1.1
اضرب 2 في -1.
-((λ+2)(λ2-2λ+22))+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.5.1.2
ارفع 2 إلى القوة 2.
-((λ+2)(λ2-2λ+4))+3λ2+6λ=0
-((λ+2)(λ2-2λ+4))+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.5.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
-(λ+2)(λ2-2λ+4)+3λ2+6λ=0
-(λ+2)(λ2-2λ+4)+3λ2+6λ=0
خطوة 1.7.1.6
أخرِج العامل 3λ من 3λ2+6λ.
خطوة 1.7.1.6.1
أخرِج العامل 3λ من 3λ2.
-(λ+2)(λ2-2λ+4)+3λ(λ)+6λ=0
خطوة 1.7.1.6.2
أخرِج العامل 3λ من 6λ.
-(λ+2)(λ2-2λ+4)+3λ(λ)+3λ(2)=0
خطوة 1.7.1.6.3
أخرِج العامل 3λ من 3λ(λ)+3λ(2).
-(λ+2)(λ2-2λ+4)+3λ(λ+2)=0
-(λ+2)(λ2-2λ+4)+3λ(λ+2)=0
خطوة 1.7.1.7
أخرِج العامل λ+2 من -(λ+2)(λ2-2λ+4)+3λ(λ+2).
خطوة 1.7.1.7.1
أخرِج العامل λ+2 من -(λ+2)(λ2-2λ+4).
(λ+2)(-1(λ2-2λ+4))+3λ(λ+2)=0
خطوة 1.7.1.7.2
أخرِج العامل λ+2 من 3λ(λ+2).
(λ+2)(-1(λ2-2λ+4))+(λ+2)(3λ)=0
خطوة 1.7.1.7.3
أخرِج العامل λ+2 من (λ+2)(-1(λ2-2λ+4))+(λ+2)(3λ).
(λ+2)(-1(λ2-2λ+4)+3λ)=0
(λ+2)(-1(λ2-2λ+4)+3λ)=0
خطوة 1.7.1.8
طبّق خاصية التوزيع.
(λ+2)(-1λ2-1(-2λ)-1⋅4+3λ)=0
خطوة 1.7.1.9
بسّط.
خطوة 1.7.1.9.1
أعِد كتابة -1λ2 بالصيغة -λ2.
(λ+2)(-λ2-1(-2λ)-1⋅4+3λ)=0
خطوة 1.7.1.9.2
اضرب -2 في -1.
(λ+2)(-λ2+2λ-1⋅4+3λ)=0
خطوة 1.7.1.9.3
اضرب -1 في 4.
(λ+2)(-λ2+2λ-4+3λ)=0
(λ+2)(-λ2+2λ-4+3λ)=0
خطوة 1.7.1.10
أضف 2λ و3λ.
(λ+2)(-λ2+5λ-4)=0
خطوة 1.7.1.11
حلّل إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.11.1
حلّل إلى عوامل بالتجميع.
خطوة 1.7.1.11.1.1
بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة ax2+bx+c، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما a⋅c=-1⋅-4=4 ومجموعهما b=5.
خطوة 1.7.1.11.1.1.1
أخرِج العامل 5 من 5λ.
(λ+2)(-λ2+5(λ)-4)=0
خطوة 1.7.1.11.1.1.2
أعِد كتابة 5 في صورة 1 زائد 4
(λ+2)(-λ2+(1+4)λ-4)=0
خطوة 1.7.1.11.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
(λ+2)(-λ2+1λ+4λ-4)=0
خطوة 1.7.1.11.1.1.4
اضرب λ في 1.
(λ+2)(-λ2+λ+4λ-4)=0
(λ+2)(-λ2+λ+4λ-4)=0
خطوة 1.7.1.11.1.2
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
خطوة 1.7.1.11.1.2.1
جمّع أول حدين وآخر حدين.
(λ+2)((-λ2+λ)+4λ-4)=0
خطوة 1.7.1.11.1.2.2
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
(λ+2)(λ(-λ+1)-4(-λ+1))=0
(λ+2)(λ(-λ+1)-4(-λ+1))=0
خطوة 1.7.1.11.1.3
حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، -λ+1.
(λ+2)((-λ+1)(λ-4))=0
(λ+2)((-λ+1)(λ-4))=0
خطوة 1.7.1.11.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
(λ+2)(-λ+1)(λ-4)=0
(λ+2)(-λ+1)(λ-4)=0
(λ+2)(-λ+1)(λ-4)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
λ+2=0
-λ+1=0
λ-4=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة العبارة λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.3.1
عيّن قيمة λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ+2=0
خطوة 1.7.3.2
اطرح 2 من كلا المتعادلين.
λ=-2
λ=-2
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة -λ+1 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة -λ+1 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
-λ+1=0
خطوة 1.7.4.2
أوجِد قيمة λ في -λ+1=0.
خطوة 1.7.4.2.1
اطرح 1 من كلا المتعادلين.
-λ=-1
خطوة 1.7.4.2.2
اقسِم كل حد في -λ=-1 على -1 وبسّط.
خطوة 1.7.4.2.2.1
اقسِم كل حد في -λ=-1 على -1.
-λ-1=-1-1
خطوة 1.7.4.2.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 1.7.4.2.2.2.1
قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.
λ1=-1-1
خطوة 1.7.4.2.2.2.2
اقسِم λ على 1.
λ=-1-1
λ=-1-1
خطوة 1.7.4.2.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 1.7.4.2.2.3.1
اقسِم -1 على -1.
λ=1
λ=1
λ=1
λ=1
λ=1
خطوة 1.7.5
عيّن قيمة العبارة λ-4 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.5.1
عيّن قيمة λ-4 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-4=0
خطوة 1.7.5.2
أضف 4 إلى كلا المتعادلين.
λ=4
λ=4
خطوة 1.7.6
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة (λ+2)(-λ+1)(λ-4)=0 صحيحة.
λ=-2,1,4
λ=-2,1,4
λ=-2,1,4
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI3)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([12103105-1]+2[100010001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 3.2.1.1
اضرب 2 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[12103105-1]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 3.2.1.2.1
اضرب 2 في 1.
[12103105-1]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2.2
اضرب 2 في 0.
[12103105-1]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2.3
اضرب 2 في 0.
[12103105-1]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2.4
اضرب 2 في 0.
[12103105-1]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2.5
اضرب 2 في 1.
[12103105-1]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2.6
اضرب 2 في 0.
[12103105-1]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2.7
اضرب 2 في 0.
[12103105-1]+[20002002⋅02⋅1]
خطوة 3.2.1.2.8
اضرب 2 في 0.
[12103105-1]+[200020002⋅1]
خطوة 3.2.1.2.9
اضرب 2 في 1.
[12103105-1]+[200020002]
[12103105-1]+[200020002]
[12103105-1]+[200020002]
خطوة 3.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1+22+01+00+03+21+00+05+0-1+2]
خطوة 3.2.3
Simplify each element.
خطوة 3.2.3.1
أضف 1 و2.
[32+01+00+03+21+00+05+0-1+2]
خطوة 3.2.3.2
أضف 2 و0.
[321+00+03+21+00+05+0-1+2]
خطوة 3.2.3.3
أضف 1 و0.
[3210+03+21+00+05+0-1+2]
خطوة 3.2.3.4
أضف 0 و0.
[32103+21+00+05+0-1+2]
خطوة 3.2.3.5
أضف 3 و2.
[321051+00+05+0-1+2]
خطوة 3.2.3.6
أضف 1 و0.
[3210510+05+0-1+2]
خطوة 3.2.3.7
أضف 0 و0.
[32105105+0-1+2]
خطوة 3.2.3.8
أضف 5 و0.
[32105105-1+2]
خطوة 3.2.3.9
أضف -1 و2.
[321051051]
[321051051]
[321051051]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=-2.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[321005100510]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by 13 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 13 to make the entry at 1,1 a 1.
[3323130305100510]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[12313005100510]
[12313005100510]
خطوة 3.3.2.2
Multiply each element of R2 by 15 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 3.3.2.2.1
Multiply each element of R2 by 15 to make the entry at 2,2 a 1.
[123130055515050510]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R2.
[123130011500510]
[123130011500510]
خطوة 3.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-5R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 3.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-5R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[123130011500-5⋅05-5⋅11-5(15)0-5⋅0]
خطوة 3.3.2.3.2
بسّط R3.
[123130011500000]
[123130011500000]
خطوة 3.3.2.4
Perform the row operation R1=R1-23R2 to make the entry at 1,2 a 0.
خطوة 3.3.2.4.1
Perform the row operation R1=R1-23R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1-23⋅023-23⋅113-23⋅150-23⋅0011500000]
خطوة 3.3.2.4.2
بسّط R1.
[10150011500000]
[10150011500000]
[10150011500000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+15z=0
y+15z=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[-z5-z5z]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[-15-151]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{z[-15-151]|z∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-15-151]}
{[-15-151]}
{[-15-151]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([12103105-1]-[100010001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
اطرح العناصر المتناظرة.
[1-12-01-00-03-11-00-05-0-1-1]
خطوة 4.2.2
Simplify each element.
خطوة 4.2.2.1
اطرح 1 من 1.
[02-01-00-03-11-00-05-0-1-1]
خطوة 4.2.2.2
اطرح 0 من 2.
[021-00-03-11-00-05-0-1-1]
خطوة 4.2.2.3
اطرح 0 من 1.
[0210-03-11-00-05-0-1-1]
خطوة 4.2.2.4
اطرح 0 من 0.
[02103-11-00-05-0-1-1]
خطوة 4.2.2.5
اطرح 1 من 3.
[021021-00-05-0-1-1]
خطوة 4.2.2.6
اطرح 0 من 1.
[0210210-05-0-1-1]
خطوة 4.2.2.7
اطرح 0 من 0.
[02102105-0-1-1]
خطوة 4.2.2.8
اطرح 0 من 5.
[02102105-1-1]
خطوة 4.2.2.9
اطرح 1 من -1.
[02102105-2]
[02102105-2]
[02102105-2]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=1.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[0210021005-20]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,2 a 1.
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,2 a 1.
[02221202021005-20]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[01120021005-20]
[01120021005-20]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,2 a 0.
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,2 a 0.
[011200-2⋅02-2⋅11-2(12)0-2⋅005-20]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[01120000005-20]
[01120000005-20]
خطوة 4.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-5R1 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 4.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-5R1 to make the entry at 3,2 a 0.
[0112000000-5⋅05-5⋅1-2-5(12)0-5⋅0]
خطوة 4.3.2.3.2
بسّط R3.
[01120000000-920]
[01120000000-920]
خطوة 4.3.2.4
Swap R3 with R2 to put a nonzero entry at 2,3.
[0112000-9200000]
خطوة 4.3.2.5
Multiply each element of R2 by -29 to make the entry at 2,3 a 1.
خطوة 4.3.2.5.1
Multiply each element of R2 by -29 to make the entry at 2,3 a 1.
[01120-29⋅0-29⋅0-29(-92)-29⋅00000]
خطوة 4.3.2.5.2
بسّط R2.
[0112000100000]
[0112000100000]
خطوة 4.3.2.6
Perform the row operation R1=R1-12R2 to make the entry at 1,3 a 0.
خطوة 4.3.2.6.1
Perform the row operation R1=R1-12R2 to make the entry at 1,3 a 0.
[0-12⋅01-12⋅012-12⋅10-12⋅000100000]
خطوة 4.3.2.6.2
بسّط R1.
[010000100000]
[010000100000]
[010000100000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
y=0
z=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[x00]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=x[100]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{x[100]|x∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[100]}
{[100]}
{[100]}
خطوة 5
خطوة 5.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([12103105-1]-4[100010001])
خطوة 5.2
بسّط.
خطوة 5.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 5.2.1.1
اضرب -4 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[12103105-1]+[-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 5.2.1.2.1
اضرب -4 في 1.
[12103105-1]+[-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.2
اضرب -4 في 0.
[12103105-1]+[-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.3
اضرب -4 في 0.
[12103105-1]+[-400-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.4
اضرب -4 في 0.
[12103105-1]+[-4000-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.5
اضرب -4 في 1.
[12103105-1]+[-4000-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.6
اضرب -4 في 0.
[12103105-1]+[-4000-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.7
اضرب -4 في 0.
[12103105-1]+[-4000-400-4⋅0-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.8
اضرب -4 في 0.
[12103105-1]+[-4000-4000-4⋅1]
خطوة 5.2.1.2.9
اضرب -4 في 1.
[12103105-1]+[-4000-4000-4]
[12103105-1]+[-4000-4000-4]
[12103105-1]+[-4000-4000-4]
خطوة 5.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1-42+01+00+03-41+00+05+0-1-4]
خطوة 5.2.3
Simplify each element.
خطوة 5.2.3.1
اطرح 4 من 1.
[-32+01+00+03-41+00+05+0-1-4]
خطوة 5.2.3.2
أضف 2 و0.
[-321+00+03-41+00+05+0-1-4]
خطوة 5.2.3.3
أضف 1 و0.
[-3210+03-41+00+05+0-1-4]
خطوة 5.2.3.4
أضف 0 و0.
[-32103-41+00+05+0-1-4]
خطوة 5.2.3.5
اطرح 4 من 3.
[-3210-11+00+05+0-1-4]
خطوة 5.2.3.6
أضف 1 و0.
[-3210-110+05+0-1-4]
خطوة 5.2.3.7
أضف 0 و0.
[-3210-1105+0-1-4]
خطوة 5.2.3.8
أضف 5 و0.
[-3210-1105-1-4]
خطوة 5.2.3.9
اطرح 4 من -1.
[-3210-1105-5]
[-3210-1105-5]
[-3210-1105-5]
خطوة 5.3
Find the null space when λ=4.
خطوة 5.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-32100-11005-50]
خطوة 5.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 5.3.2.1
Multiply each element of R1 by -13 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 5.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -13 to make the entry at 1,1 a 1.
[-13⋅-3-13⋅2-13⋅1-13⋅00-11005-50]
خطوة 5.3.2.1.2
بسّط R1.
[1-23-1300-11005-50]
[1-23-1300-11005-50]
خطوة 5.3.2.2
Multiply each element of R2 by -1 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 5.3.2.2.1
Multiply each element of R2 by -1 to make the entry at 2,2 a 1.
[1-23-130-0--1-1⋅1-005-50]
خطوة 5.3.2.2.2
بسّط R2.
[1-23-13001-1005-50]
[1-23-13001-1005-50]
خطوة 5.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-5R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 5.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-5R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[1-23-13001-100-5⋅05-5⋅1-5-5⋅-10-5⋅0]
خطوة 5.3.2.3.2
بسّط R3.
[1-23-13001-100000]
[1-23-13001-100000]
خطوة 5.3.2.4
Perform the row operation R1=R1+23R2 to make the entry at 1,2 a 0.
خطوة 5.3.2.4.1
Perform the row operation R1=R1+23R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1+23⋅0-23+23⋅1-13+23⋅-10+23⋅001-100000]
خطوة 5.3.2.4.2
بسّط R1.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
خطوة 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-z=0
y-z=0
0=0
خطوة 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[zzz]
خطوة 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[111]
خطوة 5.3.6
Write as a solution set.
{z[111]|z∈R}
خطوة 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
خطوة 6
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[-15-151],[100],[111]}